Question

已知以点P为圆心的圆过点A（-1，0）和B（3，4），AB的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|＝410．

Answer 1

（1）因为k_AB=1，AB的中点坐标为（1，2），所以直线CD的方程为y-2=-（x-1），

即x+y-3=0．（3分）

设圆心P（a，b），则由P在CD上得a+b-3=0．①

又直径|CD|＝4

10，所以|PA|＝2

10，所以（a+1）²+b²=40．②

①代入②消去a得-4b-12=0，解得b=6或b=-2．

当b=6时，a=-3；当b=-2时，a=5，所以圆心P（-3，6）或P（5，-2），所以圆P的方程为（x+3）²+（y-6）²=40或(x−5)2；+(y+2)2＝40．（8分）

（2）因为|AB|＝

42+42=4

2，所以当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为2

2．（10分）

又圆心到直线AB的距离为4

2，圆P的半径r＝2

10，且2

10−4

2＜2

2，

所以圆上共有两个点Q，使△QAB的面积为8．（15分）