设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f′(x)

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  • 解题思路:令函数g(x)=f(x)-x,根据零点定理,已知g(x)有零点;在根据反证法证明g(x)至多有一个零点即可.

    证明:令g(x)=f(x)-x x∈(0,1)

    因为:0<f(x)<1

    所以:g(0)=f(0)-0=f(0)>0

    g(1)=f(1)-1<0

    所以:g(0)g(1)<0,

    因为函数f(x)可微分,故f(x)连续,因此g(x)肯定连续

    根据零点定理,可知,在x∈(0,1)上,至少有一个点满足:

    g(ɛ)=0,ɛ∈(0,1)

    即:f(ɛ)-ɛ=0,

    f(ɛ)=ɛ.

    假设存在两个或两个以上的点满足f(x)=x

    设x1,x2为其中的两个点,x1≠x2.则有:

    f(x1)=x1,f(x2)=x2

    既有:g(x1)=0;

    g(x2)=0;

    根据拉格朗日定理有:

    g(x2)-g(x1)=g'(ξ)(x2-x1)=0 ξ∈(0,1)

    因为:x1≠x2

    所以必有:

    g'(ξ)=0

    因为g'(x)=f'(x)-1

    即有:g'(ξ)=f'(ξ)-1=0

    因此:f'(ξ)=1

    与题设矛盾,故不存在两个或者两个以上的点满足f(x)=x.

    综上所述:f(x)在x∈(0,1)有且仅有一个x满足f(x)=x.

    点评:

    本题考点: A:多元函数连续、可导、可微的关系 B:连续函数的性质 C:零点定理及其推论的运用

    考点点评: 本题综合考察了零点定理及其推论,证明有一定的灵活性,属于中档题.