解题思路：按导函数的定义分别求取左、右导函数来判断但导函数的存在性及其取值．
函数f（x）对任意x均满足等式f（1+x）=af（x），且有f′（0）=b，其中a，b为非零常数，则
f'+（1）=
lim
x→0+
f(1+x)−f(1)
x＝
lim
x→0+
af(x)−af(0)
x＝af′+(0)＝af′(0)＝ab
f'-（1）=
lim
x→0−
f(1+x)−f(1)
x＝
lim
x→0−
af(x)−af(0)
x＝af′−(0)＝af′(0)＝ab
所以，f'+（1）=f'-（1）=ab
所以，f（x）在x=1处可导，且f′（1）=ab
故选：D．
点评：
本题考点： 导数的概念．
考点点评： 本题考查导数的概念．求函数的可导性的时候一般按定义分别求解左、右导函数，然后根据左、右导函数的情况来判断导函数的存在性．