Question

设f（x）在[0，1]连续，且单调减少，f（x）＞0，证明：对于满足0＜α＜β＜1的任何α，β，有β∫α0f（x）dx＞

Answer 1

解题思路：将所要证明的结论变形为：

β

∫

α

0

f(x)dx＞α

∫

β

α

f(x)dx

，容易想到用积分中值定理证明．

证明：

要证：

∫α0f(x)dx＞

α

β

∫βαf(x)dx，0＜α＜β≤1，

只需证：

1

α

∫α0f(x)dx＞

1

β

∫βαf(x)dx

由积分中值定理：

∫α0f(x)dx＝αf(ξ1)，ξ₁∈[0，α]，

∫βαf(x)dx＝(β−α)f(ξ2)，ξ₂∈[α，β]，

而：f（x）是[0，1]上单调减少的函数，

∴f（ξ₁）＞f（ξ₂）

∴f(ξ1)＝

1

α•αf(ξ1)＞

1

β•βf(ξ2)＞

1

β•(β−α)f(ξ2)（？）

即

1

α

∫α0f(x)dx＞

1

β

∫βαf(x)dx

∴

∫α0f(x)dx＞

α

β

∫βαf(x)dx

结论成立．

点评：

本题考点： 二重积分中值定理．

考点点评： 将不等式稍作变形，就可以看出应用积分中值定理．二重积分和三重积分也有相应的积分中值定理，也要熟悉．