Question

过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径．如图，已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线交抛

Answer 1

∵抛物线方程是y²=2px，

∴抛物线的焦点F(

p

2，0)，准线x＝?

p

2

（1）①当AB⊥x时，可得A(

p

2，p)、B(

p

2，?p)，

∴通径长为p-（-p）=2p，

可得此时x1x2＝

p2

4且y1y2＝?p2，是定值．

②AB与x轴不垂直时，设AB：y＝k(x?

p

2)（k≠0）

由

y＝k(x?

p

2)

y2＝2px消去x，得[k/2py2?y?

kp

2＝0，

由根与系数的关系，得y1y2＝?p2，

再代入到抛物线方程，可得x1x2＝

y12

2p×

y22

2p＝

p2

4]，是定值．

综上所述，过焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，必有x1x2＝

p2

4、y1y2＝?p2是定值；

（2）根据题意，可得A1(?

p

2，y1)、B1(?

p

2，y2)，F(

p

2，0)

∵焦点F(

p

2，0)，

∴

FA1＝(p，y1)，

FB1＝(p，y2)，

由此可得

FA1?

FB1＝p2+y1y2＝p2+(?p2)＝0，

∴

FA1⊥

FB1，即A₁F⊥B₁F．