Question

为什么任何非奇异矩阵都能经过初等行变换转化成单位矩阵

Answer 1

因为非奇异矩阵A与单位矩阵E等价

所以存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=E

等式两边右乘Q^-1得 PA=EQ^-1=Q^-1

上式两边左乘Q 得 QPA=E

而P,Q可逆,故QP可逆

可逆矩阵可表示为初等矩阵的乘积

所以,QPA=E 相当于A经初等行变换化为单位矩阵E.

注:同理,任何非奇异矩阵都能经过初等列变换转化成单位矩阵