Question

设f（x）是定义在区间[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=g（2-x），且当x∈[2，3]时，g（x

Answer 1

解题思路：（1）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，由条件得到f（x）=f（-x）=g（2+x），再由当x∈[2，3]时，g（x）的解析式，得到f（x）在[0，1]的表达式，再由偶函数的定义，即可得到f（x）在[-1，0]的表达式；

（2）假设这样的a存在，则由于f（x）是偶函数，不妨设此时x∈[-1，0]，则有f（x）=4x³-2ax，求出导数判断单调性，再求最小值，即可得到a，进而说明存在．

（1）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，

由于当x∈[-1，0]时，f（x）=g（2-x），

且f（x）是定义在区间[-1，1]上的偶函数，

当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³

则f（x）=f（-x）=g（2+x），2+x∈[2，3]，

即有f（x）=2ax-4x³，

当x∈[-1，0]时，f（x）=f（-x）=-2ax+4x³，

所以f（x）=

4x3−2ax，−1≤x≤0

−4x3+2ax，0＜x≤1；

（2）假设这样的a存在，则由于f（x）是偶函数，

不妨设此时x∈[-1，0]，则有f（x）=4x³-2ax，

f'（x）=12x²-2a=2（6x²-a）

因为6x²≤6＜a，

所以6x²-a＜0，f'（x）＜0，f（x）在[-1，0]递减，

所以f（x）最大值为f（-1）=-4+2a=12，a=8．

所以存在a=8满足f（x）_max=12．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查函数的性质和运用，考查函数解析式的求法，同时考查运用导数判断函数的单调性，以及求最值，考查运算能力，属于中档题．