已知直线l: 与椭圆C: (a>1)交于P,Q两点。

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  • 已知直线l:

    与椭圆C:

    (a>1)交于P,Q两点。

    (1)设PQ中点M(x 0,y 0),求证:

    (2)椭圆C的右顶点为A,且A在以PQ为直径的圆上,求△OPQ的面积(O为坐标原点)。

    (1)设直线l与椭圆C交于P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2

    代入x 2+a 2y 2-a 2=0,

    整理可得

    由韦达定理得

    ∵M(x 0,y 0)为PQ中点,

    (2)依题意

    得(x 1-a)(x 2-a)+y 1y 2=0

    整理可得5x 1·x 2-(2

    +a)(x 1+x 2)+a 2+3=0, ②

    将①代入②得

    ∵a>1,则

    故所求椭圆方程为

    联立椭圆与直线方程得

    原点到直线的距离为