∵m、n、p都是整数,∴m－n、p－m都是整数,∴｜m－n｜^3、｜p－m｜^5都是非负整数,
又｜m－n｜^3＋｜p－m｜^5＝1,∴｜m－n｜、｜p－m｜只能是一者为1,另一者为0.
一、当m－n＝1、p－m＝0时,（m－n）＋（p－m）＝p－n＝1.
∴此时,｜p－m｜＋｜m－n｜＋2｜n－p｜＝0＋0＋1＝2.
二、当m－n＝0、p－m＝1时,（m－n）＋（p－m）＝p－n＝1.
∴此时,｜p－m｜＋｜m－n｜＋2｜n－p｜＝1＋0＋1＝2.
综合上述一、二,得：｜p－m｜＋｜m－n｜＋2｜n－p｜＝2.