Question

设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的解，c1，c2是任意常数

Answer 1

解题思路：先用线性无关的定义证明线性无关，再结合二阶线性非齐次微分方程的结构以此得出通解．

因为：y₁，y₂，y₃线性无关，

所以：y₁-y₃，y₂-y₃是线性无关的．

又因为：函数y₁，y₂，y₃都是二阶非齐次线性方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的解，

所以：c₁（y₁-y₃）+c₂（y₂-y₃）是y″+p（x）y′+q（x）y=0的通解，

根据二阶线性非齐次微分方程的结构可知：

c₁（y₁-y₃）+c₂（y₂-y₃）+y₃=c₁y₁+c₂y₂+（1-c₁-c₂）y₃是y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的通解，

故选：D．

点评：

本题考点： 非齐次方程组解的判定定理．

考点点评： 该题是要掌握二阶线性非齐次微分方程解的结构，以此来求通解．属于容易题．