说说我的理解吧,首先我们知道有“处处连续但处处不可导”的函数,这个Weierstrass已近构造出来了,假如仿照Weierstrass的构造方式,打算从函数项级数的角度构造“处处可导但导数处处不连续”的例子的话是不可行的,因为假如存在的话,那么根据函数项级数的逐项求导定理,要求各项求导后的级数一致收敛于右边的导函数,既然一致收敛的话,再根据函数项级数的连续性定理,知道这个右边的导函数是连续的.
进一步我考虑的是Riemann函数,尽管这个函数处处不连续,但它是Riemann可积的,并且积分后的函数是连续的,但问题是原函数不连续的话积分就不可微了,所以也不行,更不用说用dirichlet函数来构造了.
我猜想一个结论是：存在函数在R上处处可导,但导数在R中某个局部不稠密的至多可列子集上不连续,也就是说导函数不连续的点是至多可列并且是离散分布的.这个应该可以做到,只要将你说的那个例子做光滑延拓就可以了.
但是我现在还没想到严格的证明方法说明“处处可导但导数处处不连续”的函数不存在.我觉得难点就在于,左右导数和左右极限的相互转化上.
如果你有证明或者构造出反例的话,也请告知!
回复楼主：
首先要指明你的一个小错误,那就是康拓阶梯函数在整个定义域上是连续函数,不能说它在康托集上是不连续的!因为我们这里的函数都是定义在实数域上的,连续性本身首先要求自变量的完整性,稠密甚至具有连续统的势都是不够的,而且康拓集不包含任何一个小邻域.除非你在康托集上定义拓扑,然后只在它上面定义函数,但是这与原问题就没有关系了.
另外,我认为考虑康拓阶梯函数也是不可行的,因为除了函数是定义在整个区间上,康拓集本身还是一个勒贝格零测集,只是稠密且具有连续统的势.这个函数的意义主要是找到了一个单调连续但是不满足牛顿-莱布尼茨公式的形式的一个例子,而且那个积分还是勒贝格积分,也就是说是在几乎处处意义下的.
从考虑riemann函数那里我就发现如果用积分构造函数的话是很难成功的,首先不能牵扯几乎处处这种概念,所以只能用riemann积分处理,但是riemann积分如果可微的话前提是原函数连续,所以.
我还是觉得这种函数不存在,证明的关键就是收敛的某种一致性特征,也许可以考虑下使用等度连续这种概念.
祝你能够研究出成果!