Question

为了求1+2+2的平方+2的三次方+.+2的2011次方的值,可令S=1+2+2的平方+2的立方+···········

Answer 1

1＋2²＋2^3＋2^4＋………＋2^1011

令S＝1＋2＋2²＋2³＋2^4＋………＋2^1011

则2S＝2＋2²＋2³＋2^4＋2^5＋………＋2^2012

∴S＝2S－S

＝2＋2²＋2³＋2^4＋2^5＋………＋2^2011＋2^2012－1－2－2²－2³－2^4－………－2^1011

＝2^2012－1

∴1＋2²＋2^3＋2^4＋………＋2^1011＝2^2012－1

1＋5＋5²＋5³＋5^4＋………＋5^100

令k＝1＋5＋5²＋5³＋5^4＋………＋5^100

则5k＝5＋5²＋5³＋5^4＋………＋5^101

4k＝5k－k＝5^101－1

∴k＝﹙5^101－1﹚／4

∴1＋5＋5²＋5³＋5^4＋………＋5^100＝﹙5^101－1﹚／4