设t=lnx,则xy'=dy/dt,x²y''=d²y/dt²-dy/dt
代入方程xy''+y'=x²+3x+2
==>x²y''+xy'=x³+3x²+2x
==>d²y/dt²-dy/dt+dy/dt=e^(3t)+3e^(2t)+2e^t
==>d²y/dt²=e^(3t)+3e^(2t)+2e^t.(1)
∵齐次方程d²y/dt²=0的特征方程是r²=0,则r=0
∴齐次方程d²y/dt²=0的通解是y=C1t+C2 (C1,C2是积分常数)
∵设微分方程(1)的解为y=Ae^(3t)+Be^(2t)+Ce^t
代入微分方程(1),得9Ae^(3t)+4Be^(2t)+Ce^t=e^(3t)+3e^(2t)+2e^t
==>A=1/9,B=3/4,C=2
∴微分方程(1)的特解是y=e^(3t)/9+3e^(2t)/4+2e^t
即微分方程(1)的通解是y=C1t+C2+e^(3t)/9+3e^(2t)/4+2e^t
故微分方程xy''+y'=x²+3x+2的通解是y=C1e^x+C2+x³/9+3x²/4+2x (C1,C2是积分常数).