解题思路：（1）把a=0代入函数解析式，求导后得到导函数的零点，列表判断函数在不同区间内的单调性，从而求得
f（x）在（1，+∞）上的最小值；
（2）（i）由f（x）=g（x），分离参数得到
a＝
x
x−lnx
−
lnx
x
，令
h(x)＝
x
x−lnx
−
lnx
x
．求导后得其极值点，求得函数极值，则使y=f（x）与y=g（x）的图象恰有三个不同的交点的实数a的取值范围可求；
（ii）由
a＝
x
x−lnx
−
lnx
x
=[1
1−
lnx/x
−
lnx
x]，令
u＝
lnx
x
，转化为关于u的方程后由根与系数关系得到u1+u2=1-a＜0，u1u2=1-a＜0，最后由
(f(
x
1
)
)
2
f(
x
2
)f(
x
3
)
x
1
2
x
2
x
3
＝1
证得答案．
（1）当a=0时，f（x）=
x2
ax+lnx=
x2
lnx，
得f′(x)＝
x(2lnx−1)
(lnx)2＝0，
∵x∈（1，+∞），
∴x＝
e．
列表：
（1，
e）
e(
e，+∞)
f′（x）-0+
f（x）减函数极小值增函数∴当a=0时，f（x）在（1，+∞）上的最小值为f(
e)＝2e；
（2）（i）由
x2
ax+lnx=x-lnx（x＞0，ax+lnx≠0），
分离参数得a＝
x
x−lnx−
lnx
x，令h(x)＝
x
x−lnx−
lnx
x．
由h′(x)＝
1−lnx
(x−lnx)2−
1−lnx
x2＝
lnx(1−lnx)(2x−lnx)
x2(x−lnx)2=0，
得x=1或x=e．
列表：
（0，1）（1，e）（e，+∞）
h′（x）-+-
h（x）减函数增函数减函数而x→0，h（x）→+∞，h（1）=1，h(e)＝1+
1
e(e−1)，x→+∞，h（x）→1．
结合函数的单调性可得，实数a的取值范围为(1，1+
1
e(e−1))；
（ii）证明：由（i）知0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，
a＝
x
x−lnx−
lnx
x=[1
1−
lnx/x−
lnx
x]，令u＝
lnx
x，
则a＝
1
1−u−u，即u2+（a-1）u+1-a=0，
u1+u2=1-a＜0，u1u2=1-a＜0，画u＝
lnx
x图象．
不妨设u1＜u2，则u1＝
lnx1
x1，u2＝
lnx2
x2＝
lnx3
x3，
(f(x1))2f(x2)f(x3)
x12x2x3＝
(g(x1))2g(x2)g(x3)
x12x2x3=(
x1−lnx1
x1)2
x2−lnx2
x2
x3−lnx3
x3
=(1−
lnx1
x1)(1−
lnx2
x2)(1−
lnx3
x3)=(1−u1)2(1−u2)(1−u3)=[(1−u1)(1−u2)]2
=[1−(u1+u2)+u1u2]2＝[1−(1−a)+(1−a)]2＝1．
故：（f（x1））2f（x2）f（x3）=x12x2x3．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．训练了函数零点的判断方法，运用了分离变量法、换元法、函数构造法等数学转化思想方法，是压轴题．
1年前
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