解题思路：（1）先求出函数f（x）=lnx的导函数，利用导函数值等于0求出对应的，并求出对应点的坐标，即可得到切线方程．
（2）先求出其导函数，再求出导函数大于等于0的区间即可得到其单调递增区间，注意是在定义域内找增减区间，要避免出错．
（3）由（2）知a=3时，F（x）=lnx+x2-3x在（1，+∞）上是增函数．从而得出
F(1+
1
n
)＞F(1)＝−2
．即有
3
a
n
−
a
2
n
＜2+ln(1+
1
n
)
．再分别令n=1，2，3，..，n得到n个不等关系，最后利用不等式的性质化简即可．
（1）f（x）=lnx，f′(x)＝
1
x，f'（1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y=1（x-1），即x-y-1=0．…（4分）
（2）F（x）=lnx+x2-3x，F′(x)＝
1
x+2x−3=
2x2−3x+1
x＝
(2x−1)(x−1)
x…（6分）
由F′(x)＞0⇒0＜x＜
1
2或x＞1，F'（x）＜0⇒
1
2＜x＜1，…（8分）
所以函数F（x）=f（x）+g（x）的单调增区间为(0，
1
2)，(1，+∞)；减区间为(
1
2，1)…（9分）
（3）由（2）知a=3时，F（x）=lnx+x2-3x在（1，+∞）上是增函数．
所以F(1+
1
n)＞F(1)＝−2．
所以ln(1+
1
n)+(1+
1
n)2−3(1+
1
n)＞−2．
所以3(1+
1
n)−(1+
1
n)2＜2+ln(1+
1
n)．
即3an−
a2n＜2+ln(1+
1
n)．…（12分）
所以3a1−
a21＜2+ln(1+1)，3a2−
a22＜2+ln(1+
1
2)，3a3−
a23＜2+ln(1+
1
3)，
…3an−
a2n＜2+ln(1+
1
n)．
所以3(a1+a2+…+an)−
a21−
a22−…−
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；数列与函数的综合；数列与不等式的综合．
考点点评： 本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程．切线斜率的求法是先求函数的导函数，切点处的导函数值极为切线斜率，还考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于中档题．