解题思路：（1）由于抛物线中只有b，c两个待定系数，因此可直接将M、N两点的坐标代入抛物线的解析式中求出抛物线的解析式．
（2）先在直角三角形ABC中，求出AC的长．由于△ABC是向右平移，因此C点的纵坐标不变，可将C点的纵坐标代入抛物线的解析式中，得出第一象限内点的横坐标，即为平移后C点的横坐标，然后让C点的横坐标减去OA的长即可得出平移的距离．
（1）∵M（1，-2），N（-1，6）在二次函数y=x2+bx+c的图象上，
∴
1+b+c＝−2
1−b+c＝6
解得
b＝−4
c＝1
二次函数的关系式为y=x2-4x+1．
（2）Rt△ABC中，AB=3，BC=5，
∴AC=4，
4=x2-4x+1，x2-4x-3=0，
解得x＝
4±
16+12
2＝2±
7（负值不合题意舍去）
∵A（1，0），
∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移（1+
7）个单位．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形平移变换、勾股定理等知识点．
（2）中弄清平移前后C点的纵坐标不变是解题的关键．