Question

已知平面α⊥平面β,α∩β=l,A∈α,B∈β,AB=12,AC⊥l于C,BD⊥l于D,若AB与α成45°角,AB与β成

Answer 1

在AB上取一点,使DE⊥AB,过E作EF⊥AB交BC于F.∵AB⊥DE,AB⊥FE,DE∩FE＝E,∴AB⊥面DEF,∴DF⊥AB.

∵面α⊥面β,面α∩面β＝l,又AC⊥l,∴AC⊥面β,∴DF⊥AC.

由DF⊥AB,DF⊥AC,得：DF⊥面ABC,∴∠DEF就是二面角C－AB－D的平面角.

在Rt△ABD中,∠BAD＝45°,AB＝12,∴AD＝BD＝6√2.

在Rt△ABC中,∠ABC＝30°,AB＝12,∴AC＝6,BC＝6√3.

在Rt△ACD中,AC⊥CD,∴CD＝√（AD^2－AC^2）＝√（36×2－36）＝6.

在Rt△ADE中,DE⊥AE,∠DAE＝45°,∴DE＝6.

在Rt△BCD中,BD⊥CD,DF⊥BC,∴BD×CD＝BC×DF,

得：DF＝（6√2）×6/（6√3）＝2√6.

∴sin∠CED＝DF/DE＝（2√6）/6＝√6/3.

即二面角C－AB－D的正弦值是√6/3.