首先用1/(n(n-2))=(1/(n-2)-1/n)/2拆分成两部分Σ1/((n-2)*2^(n+1))-Σ1/(n*2^(n+1))
Σ1/((n-2)*2^(n+1))=Σ1/(n*2^(n+3))=-ln(1-1/2)/8=ln2/8.
Σ1/(n*2^(n+1))=1/2*(Σ1/(n*2^n)-1/2-1/8)=ln2/2-5/16.
相减得原式=5/16-3ln2/8.
其中用到-ln(1-x)=x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+...
可以通过逐项积分1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+...得到.
要说想法就是首先观察确定幂级数变元x=1/2.
然后对不熟悉的幂级数x^n/(n(n-2))系数变形,拆分为相对熟悉的幂级数.
接着根据需要进行乘以或提出x的幂次,修改求和指标,增减求和项,逐项积分或求导等变换.
最终得到常见的幂级数,写出和函数.