Question

已知函数f（x）和g（x）满足g（x）+f（x）=x 12，g（x）-f（x）=x −12．

Answer 1

解题思路：（1）根据已知中的f（x），g（x）的关系式即可解出f（x），g（x）；

（2）分别求出g²（x），g（x²）并作差即可；

（3）带入f（x），g（x）的解析式即可求出这两组值，并归纳出结论：x＞0，f（x²）-2f（x）g（x）=0．

（1）由已知条件即可求得：f（x）=

x

1

2−x−

1

2

2，g（x）=

x

1

2+x−

1

2

2；

（2）g2(x)−g(x2)＝

x+2+x−1

4−

x+x−1

2=−

x−2+x−1

4＝−

(x

1

2−x−

1

2)2

4≤0；

∴g²（x）≤g（x²），当x=1时取“=“；

（3）f（4）-2f（2）g（2）=

3

4−

3

4＝0，f（9）-2f（3）g（3）=

4

3−

4

3＝0；

得到的结论：若x＞0，则f（x²）-2f（x）g（x）=0，证明如下：

f(x2)−2f(x)g(x)＝

x−x−1

2−2•

x−x−1

4＝0．

点评：

本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数的值．

考点点评： 考查根据f（x），g（x）的关系式求函数f（x），g（x）的解析式的方法，根据函数解析式求函数值．