从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程.

2个回答

  • 解题思路:设P(x,y),欲求其轨迹方程,即寻找其坐标间的关系,根据垂线的关系及点Q在双曲线上,代入其方程即可得到.

    设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1

    则N( 2x-x1,2y-y1)代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2 ①

    又PQ垂直于直线x+y=2,故

    y−y1

    x−x1=1,即x-y+y1-x1=0 ②

    由①②解方程组得x1=[3/2]x+[1/2]y-1,y1=[1/2]x+[3/2]y-1,

    代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0.

    点评:

    本题考点: 轨迹方程.

    考点点评: 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题.代入法:动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’,y’)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x’,y’表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然而整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法.