从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,则线段QN的中点P的轨迹方程为______.

3个回答

  • 解题思路:设P(x,y),欲求其轨迹方程,即寻找其坐标间的关系,根据垂线的关系及点Q在双曲线上,代入其方程即可得到.

    设P(x,y),Q(x1,y1),则N(2x-x1,2y-y1),

    ∵N在直线x+y=2上,

    ∴2x-x1+2y-y1=2①

    又∵PQ垂直于直线x+y=2,∴

    y−y1

    x−x1=1,

    即x-y+y1-x1=0.②

    由①②得

    x1=

    3

    2x+

    1

    2y−1

    y1=

    1

    2x+

    3

    2y−1,

    又∵Q在双曲线x2-y2=1上,

    ∴x12-y12=1.

    ∴([3/2]x+[1/2]y-1)2-([1/2]x+[3/2]y-1)2=1.

    整理,得2x2-2y2-2x+2y-1=0即为中点P的轨迹方程.

    故答案为:2x2-2y2-2x+2y-1=0.

    点评:

    本题考点: 圆锥曲线的轨迹问题.

    考点点评: 本题主要考查了轨迹方程的问题.求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题.代入法:动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’,y’)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x’,y’表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然而整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法.