解题思路：（1）根据二次函数g（x）对∀x∈R都满足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，设出g（x），根据等式的性质，可以求出a、c的值；
（2）由（1）求出的函数g（x），代入函数f（x）=
g(x+
1
2
)+mlnx+
9
8
，进行化简，再利用导数研究函数的最值，要使f（x）≤0成立，转化为f（x）的最小值小于0即可，从而求出m的范围；
（1）设出g（x）=ax2+bx+c，于是
g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）2+2c=（x-1）2-2，
所以
a＝
1
2
c＝−1
由g（1）=-1，则b=-[1/2]，
所以g（x）=[1/2]x2-[1/2]x-1，
（2）f（x）=g（x+[1/2]）+mlnx+[9/8]=[1/2]x2+mlnx（m∈R，x＞0），
当m＞0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R，
当m=0时，f（x）=
x2
2＞0对∀x＞0，f（x）＞0恒成立，
当m＜0时，由f′（x）=x+[m/x]=0⇒x=
−m，
列表：
x （0，
−m）
−m （
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；二次函数的性质．
考点点评： 此题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及函数的转化思想，导数是我们研究函数的单调性，是一道中档题，这类题是高考的热点问题；