关于上确界证明的一个疑问上确界存在的条件是 (假设上确界为h)对于任何E>0,存在一个x (x在集合内),则x>h-E难

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  • 1.假设supX>supY,则存在x0∈X,使得x0>supY.从而对任意y∈Y,都有x0>y,与已知矛盾,故supX≤supY2.由已知,Y中任意一个数y都是X的上界,X中任意一个数都是Y的下界,故由确界原理,X有上确界,Y有下确界.对任意y∈Y,y是X的一个上界,由上确界定义,可知supX≤y.该式又表明supX是Y的一个下界,故由下确界定义得supX≤infY.3.对任意x∈X,有x≤supX,所以ax≤asupX,故asupX是aX的一个上界.任给正数ε,存在x0∈X,使得x0>supX-ε/a,所以ax0>asupX-ε,故asupX是aX的上确界.类似的可证ainfX是aX的下确界.4.因为A是B的子集,所以对任意x∈A,都有x∈B,故supA≤supB,类似的可证infA≥infB5.对任意x∈X,都有x≤supX;同样对任意y∈Y,都有y≤supY,所以x+y≤supX+supY,即supX+supY是Z的一个上界.任给正数ε,存在x0∈X,使得x0>supX-ε/2;同理存在y0∈Y,使得y0>supY-ε/2,从而x0+y0>supX+supY-ε.故supX+supY是Z的上确界.类似的可证明infX+infY是Z的下确界6.对任意x∈X,都有x≤supX;同样对任意y∈Y,都有y≤supY,所以xy≤supXsupY,即supXsupY是Z的一个上界;任给正数ε存在x0∈X,使得x0>supX-ε;同理存在y0∈Y,使得y0>supY-ε.所以x0y0>(supX-ε)(supY-ε),故upXsupY是Z的上确界.类似的可证infXinfY是Z的下确界.