Question

如果a1>=1,且ak+1>aK +1,k为1,2,3.n,证明a1的立方+a2∧3+.+an∧3≥(a1+a2+.+a

Answer 1

用数学归纳法

k=1时,a[1]∧3 ≥ a[1]∧2 (因为a1 ≥ 1)

k=n时,假设a[1]∧3 + a[2]∧3 + .+ a[n]∧3 ≥ (a[1] + a[2] + .+ a[n])∧2成立

k=n+1时,左式 = a[1]∧3 + a[2]∧3 + .+ a[n]∧3 + a[n+1]∧3

又因为 a[1]∧3 + a[2]∧3 + .+ a[n]∧3 ≥ (a[1] + a[2] + .+ a[n])∧2

所以 a[1]∧3 + a[2]∧3 + .+ a[n]∧3 + a[n+1]∧3 ≥ (a[1] + a[2] + .+ a[n])∧2 + a[n+1]∧3

又因为a[k+1] > a[k] + 1

所以 左式 ≥ (a[1] + a[2] + .+ a[n])∧2 + (a[n] + 1)∧3

左式 ≥ a[1]∧2 + a[2]∧2 + ...+ a[n]∧2 + 2a[1]a[2] + 2a[1]a[3] + ...+ 2a[n-1]a[n] + a[n]∧3 + 3a[n]∧2 + 3a[n] + 1

左式 ≥ (a[1] + a[2] + .+ a[n])∧2

得证