如图,抛物线
与x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称,直线AF交y轴于点E,|OC|:|OA|=5:1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线AF的解析式;
(3)在直线AF上是否存在点P,使△CFP是直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由
(1)∵y=x 2﹣
bx﹣5,
∴OC|=5,
∵OC|:|OA|=5:1,
∴OA|=1,即A(﹣1,0),
把A(﹣1,0)代入y=x 2﹣bx﹣5得
(﹣1) 2+b﹣5=0,
解得b=4,
抛物线的解析式为y=x 2﹣4x﹣5;
(2)∵点C与点F关于对称轴对称,C(0,﹣5),设F(x 0,﹣5),
∴x 0 2﹣4x 0﹣5=﹣5,
解得x 0=0(舍去),
或x 0=4,
∴F(4,﹣5),
∴对称轴为x=2,
设直线AF的解析式为y=kx+b,
把F(4,﹣5),A(﹣1,0),代入y=kx+b,
得
,
解得
,
所以,直线FA的解析式为y=﹣x﹣1;
(3)存在.
理由如下:
①当∠FCP=90°时,点P与点E重合,
∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点,
∴E(0,﹣1),
∴P(0,﹣1),…
②
当CF是斜边时,过点C作CP⊥AF于点P(x 1,﹣x 1﹣1),
∵∠ECF=90°,E(0,﹣1),C(0,﹣5),F(4,﹣5),
∴CE=CF,
∴EP=EF,
∴CP=PF,
∴点P在抛物线的对称轴上,…
∴x 1=2,
把x 1=2代入y=﹣x﹣1,得y=﹣3,
∴P(2,﹣3),
综上所述,直线AF上存在点P(0,﹣1)或(0,﹣1)使△CFP是直角三角形.