已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x）， - 知识问答

已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足：（x-1）[f′（x）-f（x）]＞0，f（2-x）=

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解题思路：由已知f（2-x）=f（x）e^2-2x，变形得
f(2−x)
e
2−x
＝
f(x)
e
x
，因此考虑可构造函数g（x）=
f(x)
e
x
，可得
g
′
(x)＝
f
′
(x)−f(x)
e
x
．利用已知f（x）满足：（x-1）[f′（x）-f（x）]＞0，即可得出f（x）单调递减．可得g（-1）＞g（0）．即
f(−1)
e
−1
＞
f(0)
e
0
＝f(0)
．利用f（2-x）=f（x）e^2-2x，可得f（3）=f（-1）e⁴＞e^-1f（0）•e⁴=e³f（0）．即可
令g（x）=
f(x)
ex，则g′(x)＝
f′(x)−f(x)
ex．
∵f（x）满足：（x-1）[f′（x）-f（x）]＞0，
∴当x＜1时，f′（x）-f（x）＜0．∴g′（x）＜0．此时函数g（x）单调递减．
∴g（-1）＞g（0）．即
f(−1)
e−1＞
f(0)
e0＝f(0)．
∵f（2-x）=f（x）e^2-2x，∴f（3）=f（-1）e⁴＞e^-1f（0）•e⁴=e³f（0）．
故选C．
点评：
本题考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
考点点评：本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性基本方法，恰当构造函数是解题的关键，属于中档题．

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