Question

已知椭圆x2/4+y2=1.设过定点M(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点A,B且角AOB为锐角(O为坐标原点),求直线

Answer 1

设直线的方程为y=kx+2,代入椭圆方程,得

x²+4(kx+2)²=4

(1+4k²)x²+16kx-12=0

x1+x2=-16k/(1+4k²),x1x2=-12/(1+4k²)

y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k²x1x2+2k(x1+x2)+4=-12k²(1+4k²)-32k²/(1+4k²)+4=-44k²/(1+k²)+4

由于角AOB为锐角,所以向量OA•OB>0,即x1x2+y1y2>0

-12/(1+4k²)-44k²/(1+k²)+4>0,14k²/(1+k²)