解题思路：（1）由A和B两点在抛物线上，故把两点坐标代入抛物线解析式中，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值，从而确定出抛物线解析式，然后令求出的解析式中x=0，求出y的值即为C的纵坐标，写出C的坐标即可；
（2）存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OCB相似，理由为：根据题意化简图形，如图所示，根据题意分别求出OA，OB及OC的长，设出P点的横坐标为m，代入抛物线解析式表示出纵坐标，因纵坐标为负值，求出其纵坐标的相反数即为PM的长，且用OM-OA表示出AM的长，若三角形相似，根据对应点对应不同分两种情况，由相似三角形对应边成比例列出关于m的方程，分别求出方程的解即可得到m的值，从而确定出P的坐标．
（1）把A（1，0）和B（4，0）代入抛物线解析式得：
a+b−2＝0①
16a+4b−2＝0②，
②-①×4得：12a=-6，解得a=-[1/2]，
把a=-[1/2]代入①，解得b=[5/2]，
所以方程组的解为：
a＝−
1
2
b＝
5
2，
∴抛物线解析式为y=-[1/2]x2+[5/2]x-2，
令x=0，解得y=2，则C的坐标为（0，-2）；
（2）存在．根据题意画出图形，如图所示：
设P的坐标为（m，-[1/2]m2+[5/2]m-2）（m＞4），
根据题意得：OA=1，OC=2，OB=4，
则PM=[1/2]m2-[5/2]m+2，MA=MO-OA=m-1，
若△BOC∽△AMP，
∴[OB/MA]=[OC/MP]，即[4/m−1]=
2
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题为二次函数的综合题，涉及的知识点有相似三角形的性质，一元二次方程的解法，以及抛物线解析式的确定，要求学生借助图形，利用数形结合及分类讨论的思想来解决问题，根据相似得比例时注意对应点要找对．