解题思路：（1）所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将A、B两点坐标代入即可得解．
（2）①由于OP是⊙C的直径，根据P点的纵坐标可表示出C点的纵坐标，进而能表示出C到直线l的距离；OP长易得，然后通过比较⊙C的半径和C到直线l的距离，即可判定直线l与⊙C的位置关系．
②该题要分两问来答，首先看第一问；该小题的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直线l与点C的位置关系（需要考虑到C到直线l的表达方式）．
在第二问中，a2最大，那么a最大，即直线l被⊙C截得的弦最长，此时圆心C应在直线l上，根据该思路即可得解．
（1）将点A（2，0）和点B（1，-[3/4]）分别代入y=[1/4]x2+mx+n中，得：
1
4×4+2m+n＝0
1
4+m+n＝−
3
4，
解得：
m＝0
n＝−1，
∴抛物线的解析式：y=[1/4]x2-1；
（2）①将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：
[1/4]x2-1=-[3/4]+2t，x=
8t+1，
∴P（
8t+1，-[3/4]+2t），
∴圆心C（
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 该题是函数的动点问题，其中涉及直线与圆的位置关系等综合知识；在处理此类问题时，要注意寻找关键点以及分段进行讨论，以免出现漏解．