已知二次函数f(x)=x2-(m-1)x+2m在[0,1]上有且只有一个零点,求实数m的取值范围.

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  • 解题思路:分类讨论:(1)当方程x2-(m-1)x+2m=0在[0,1]上有两个相等的实根时,矛盾;(2)当方程x2-(m-1)x+2m=0有两个不相等的实根时,分3种情况来考虑即可.

    (1)当方程x2-(m-1)x+2m=0在[0,1]上有两个相等的实根时,

    △=(m-1)2-8m=0且0<

    m−1

    2<1,此时无解.

    (2)当方程x2-(m-1)x+2m=0有两个不相等的实根时,

    ①有且只有一根([0,1)上时,有f(0)f(1)<0,即2m(m+2)<0,解得-2<m<0,

    ②当f(0)=0时,m=0,f(x)=x2+x=0,解得x1=0,x2=-1,符合题意.

    ③f(1)=0时,m=-2,方程可化为x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4,符合题意,

    综上可得,实数m的取值范围为:[-2,0]

    点评:

    本题考点: 函数的零点.

    考点点评: 本题为函数零点的问题,分类讨论时解决问题的关键,属基础题.