Question

已知函数f（x）=x2-x-m在区间（-1，1）上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

解题思路：法1：根据函数零点的性质结合二次函数的性质即可得到结论．

法2：将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题即可．

解法一：①当函数f（x）=x²-x-m在区间（-1，1）上只有1个零点时，△=0或

△＞0

f(−1)•f(1)＜0或

△＞0

f(1)＝0，

解得m＝−

1

4或0＜m＜2或m=0；

②当函数f（x）=x²-x-m在区间（-1，1）上有2个零点时，

△＞0

f(−1)＞0

f(1)＞0，解得−

1

4＜m＜0；

综上所述，实数m的取值范围为[−

1

4，2)．

法二：函数f（x）=x²-x+5-m在区间（-1，1）上有零点

⇔方程x²-x-m=0在区间（-1，1）上有解

⇔方程x²-x=m在区间（-1，1）上有解

⇔函数y=x²-x与函数y=m在区间（-1，1）上有交点

∵函数y=x²-x在区间（-1，1）上的值域为[−

1

4，2)

∴−

1

4≤m＜2

∴实数m的取值范围为[−

1

4，2)．

点评：

本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质．

考点点评： 本题主要考查一元二次函数的零点的问题，根据函数零点的性质，以及函数和方程之间的关系进行转化是解决本题的关键．