Question

利用单调性定义证明函数f(x)＝x+4x在[1，2]上的单调性并求其最值．

Answer 1

解题思路：利用函数单调性的定义，设1≤x₁＜x₂≤2，利用作差法比较f（x₁）与f（x₂）的大小，进而证明函数f（x）为单调减函数，再利用单调性求函数最值即可

设1≤x₁＜x₂≤2，

则f(x1)−f(x2)＝x1+

4

x1−x2−

4

x2＝x1−x2+

4(x2−x1)

x1x2

＝(x1−x2)(1−

4

x1x2)＝(x1−x2)

x1x2−4

x1x2

∵

1≤x1＜x2≤2，∴

x1−x2＜0，x1x2−4＜0，x₁x₂＞0

∴f（x₁）＞f（x₂）

∴函数f(x)＝x+

4

x在[1，2]上为减函数

∴当x=2时，f（x）取得最小值4，当x=1时，f（x）取得最大值5．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．

考点点评： 本题主要考查了函数单调性的定义，利用定义证明函数的单调性的方法和步骤，作差法比较大小，代数变形能力，属基础题