解题思路：（Ⅰ）求导函数，确定导数恒大于0，从而可得求函数φ （x）的单调区间；
（Ⅱ）先求直线l为函数的图象上一点A（x0，f （x0））处的切线方程，再设直线l与曲线y=g（x）相切于点
(
x
1
，
e
x
1
)
，进而可得
ln
x
0
＝
x
0
+1
x
0
−1
，再证明在区间（1，+∞）上x0存在且唯一即可．
（Ⅰ）φ(x)＝f(x)−
x+1
x−1=lnx−
x+1
x−1，φ′(x)＝
1
x+
2
(x−1)2＝
x2+1
x•(x−1)2．（2分）
∵x＞0且x≠1，∴φ'（x）＞0
∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）证明：∵f′(x)＝
1
x，∴f′(x0)＝
1
x0，
∴切线l的方程为y−lnx0＝
1
x0(x−x0)，
即y＝
1
x0x+lnx0−1，①（6分）
设直线l与曲线y=g（x）相切于点(x1，ex1)，
∵g'（x）=ex，∴ex1＝
1
x0，∴x1=-lnx0．（8分）
∴直线l也为y−
1
x0＝
1
x0(x+lnx0)，
即y＝
1
x0x+
lnx0
x0+
1
x0，②（9分）
由①②得 lnx0−1＝
lnx0
x0+
1
x0，
∴lnx0＝
x0+1
x0−1．（11分）
下证：在区间（1，+∞）上x0存在且唯一．
由（Ⅰ）可知，φ（x）=
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时考查零点存在性定理，综合性比较强．