解题思路：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由g（x）=（lnx-1）ex+x，x∈（0，+∞），求导函数，由（Ⅰ）知，f（x）min=f（1）=0，由此能导出不存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
f(x)＝
1
x
+lnx−1≥0，x＞0
，由m＞0，n＞0，可得
f(
n
m
)≥0
，由此能够证明nnem≥mnen．
（Ⅰ）∵f(x)＝
1
x+lnx−1，x∈（0，+∞），
∴f′(x)＝−
1
x2+
1
x＝
x−1
x2…（1分）
令f′（x）＞0得x＞1，令f′（x）＜0得0＜x＜1…（2分）
∴f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）…（3分）
（Ⅱ）∵g（x）=（lnx-1）ex+x，x∈（0，+∞），
∴g′（x）=（lnx-1）′ex+（lnx-1）（ex）′+1=（[1/x]-lnx-1）ex+1，…（5分）
由（Ⅰ）易知，f（x）min=f（1）=0，
∴当x0∈（0，+∞）时，[1
x0+lnx0−1≥0 …（6分）
又ex0＞0，∴g′（x0）≥1＞0 …（7分）
曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x0）=0有实数解．
而g′（x0）＞0，即方程g′（x0）=0无实数解．…（8分）
故不存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直．…（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）得：f(x)＝
1/x+lnx−1≥0，x＞0（当且仅当x=1是等号成立） …（10分）
∵m＞0，n＞0，
∴f(
n
m)≥0…（12分）
∴
m
n+ln
n
m−1≥0⇔ln
n
m≥
n−m
n]⇔nln
n
m≥n−m⇔(
n
m)n≥en−m
整理得：nnem≥mnen…（14分）
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查函数单调性的判断，考查实数是否存在的判断，考查不等式的证明，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大．