等价无穷小代换不能随便乱用,一般来说,如果该项是参与乘法或者除法运算的话就可以用,例如
lim[x->0,ln(1+x)/sinx]
这时ln(1+x)是x的等价无穷小,sinx是x的等价无穷小,所以都可以换过来
lim[x->0,ln(1+x)/sinx]=lim[x->0,x/x]=1.
如果是参加加法减法甚至是乘幂等运算,这时视情况而定,但是,对于数学来说,如果一种方法有时有效,有时失效的话,就最好不要用,否则很容易出错,例如
lim[x->0,(x-sinx)/x^3]
如果把sinx换成x,得到极限值为0,那就错了,你用两次洛比达法则可以求一下这个极限
lim[x->0,(x-sinx)/x^3]=lim[x->0,(1-cosx)/(3x^2)]=lim[x->0,sinx/(6x)]=1/6
至于你的题目,替换也是可以的,但严格的解题,最好直接用洛比达法则求,这时分母里面的(1-cosx)与x^2/2是等价无穷小(x->0),可以替换.
所以
lim[x->0,[ln(1+x+x^2)-ln(1-x+x^2)]/[x(1-cosx)]]
=lim[x->0,2[ln(1+x+x^2)-ln(1-x+x^2)]/x^3]
=lim[x->0,2[(2x+1)/(x^2+x+1)-(2x-1)/(x^2-x+1)]/(3x^2)]
=lim[x->0,4(1-x^2)/[3x^2(x^2+x+1)(x^2-x+1)]]
=∞