已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x∈R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.

2个回答

  • 解题思路:(1)根据对任意x∈R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立,以及递推关系可得f(x+3)=-f(x),将x+3代入可得f(x+6)=f(x),最后根据周期函数的定义可知f(x)的周期,从而证得结论;

    (2)根据f(x)是周期函数且6是它的一个周期,将f(2004)转化成f(0),而f(0)与f(3)互为相反数,即可求出所求.

    (1)证明∵f(x)=f(x+1)+f(x-1)

    ∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),

    则f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1)-f(x)

    =f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1).

    ∴f(x+3)=f[(x+1)+2]=-f[(x+1)-1]

    =-f(x).

    ∴f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x).

    ∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期.

    (2)∵f(x)是周期函数且6是它的一个周期.

    f(2004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2.

    点评:

    本题考点: 抽象函数及其应用.

    考点点评: 本题主要考查了抽象函数的周期性,以及求函数值等有关知识,同时考查了转化与划归的思想,属于基础题.