Question

求方程式的通解!y″-y′-2y=0;求此微分方程的通解!2y″+y′-y=2e^x;

Answer 1

1.y″-y′-2y=0

∵原方程的特征方程是r²-r-2=0,则r1=2,r2=-1

∴原方程的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(-x) (C1,C2是积分常数)；

2.2y″+y′-y=2e^x

∵齐次方程2y″+y′-y=0的特征方程是2r²+r-1=0,则r1=1/2,r2=-1

∴齐次方程2y″+y′-y=0的通解是y=C1e^(x/2)+C2e^(-x) (C1,C2是积分常数)

∵设原方程的一个解为y=Ae^x

代入原方程得2Ae^x=2e^x ==>A=1

∴原方程的一个解是y=e^x

故原方程的通解是y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x (C1,C2是积分常数).