Question

求微分方程的特解：x^2y''+xy'=1 y|x=1=0 y'|x=1=1

Answer 1

令x=e^t,则t=ln(x)

dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(1/x)(dy/dt)

y''=(dy'/dt)(dt/dx)=(1/x^2)(d^2y/dt^2-dy/dt)

带入原式

d^2y/dt^2=1

积分两次得y=（1/2）t^2+ct+c'

换回变量y=（1/2）(lnx)^2+clnx+c'

带入初始条件得c=1,c'=0

所以y=（1/2）(lnx)^2+lnx