Question

求微分方程y''+(y)'^2=1 x=0时y=y'=0的特解

Answer 1

不显含x型

令y'=p,y"=pdp/dy

原微分方程可化为

pdp/dy+p^2=1

分离变量

pdp/(p^2-1)=-dy

两边积分

ln|p^2-1|=-2y+C

得到

p^2=C'e^(-2y)+1

初值条件x=0,y=y'=0可得C'=-1

则p=±√[1-e^(-2y)]

即dy/dx=±√[1-e^(-2y)]

分离变量

dy/√[1-e^(-2y)]=±dx

凑微

1/√[e^(2y)-1]d(e^y)=±dx

两边积分

ln|e^y+√[e^(2y)-1]|=±x+C"

初值条件x=0,y=y'=0可得C"=0

所以方程特解为

ln|e^y+√[e^(2y)-1]|=±x

【其中用到了公式∫1/√(x^2-1)dx=ln|x+√(x^2-1)|+C】