解题思路：（1）由已知f（x）在（0，+∞）上单调递增，结合幂函数的单调性与指数的关系可构造关于k的不等式，解不等式求出实数k的值，并得到函数f（x）的解析式；
（2）由（1）中结果，可得函数F（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，可构造关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围；
（3）由（1）中结果，可得函数g（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，可求出q的值．
（1）由题意知（2-k）（1+k）＞0，
解得：-1＜k＜2．…（2分）
又k∈Z
∴k=0或k=1，…（3分）
分别代入原函数，得f（x）=x2．…（4分）
（2）由已知得F（x）=2x2-4x+3．…（5分）
要使函数不单调，则2a＜1＜a+1，则0＜a＜
1
2．…（8分）
（3）由已知，g（x）=-qx2+（2q-1）x+1．…（9分）
假设存在这样的正数q符合题意，
则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为x＝
2q−1
2q＝1−
1
2q＜1，
因而，函数g（x）在[-1，2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得，
又g（2）=-1≠-4，
从而必有g（-1）=2-3q=-4，解得q=2．
此时，g（x）=-2x2+3x+1，其对称轴x＝
3
4∈[−1，2]，
∴g（x）在[-1，2]上的最大值为g(
3
4)＝−2×(
3
4)2+3×
3
4+1＝
17
8，符合题意．
∴存在q=2，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上的值域为[−4，
17
8]．…（14分）
点评：
本题考点： 二次函数的性质；幂函数的性质．
考点点评： 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，幂函数的性质，熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键．