Question

已知幂函数f（x）=x （2-k）（1+k） ，k∈N + ，且满足f（2）＜f（3）．

Answer 1

（1）由题意知（2-k）（1+k）＞0

解得-1＜k＜2

又k∈N ₊∴k=1

分别代入原函数得f（x）=x ²

（2）由（1）知g（x）=-qx ²+（2q-1）x+1，

假设存在这样的正数q符合题意，

则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，

其对称轴为 x=

2q-1

2q =1-

1

2q ＜1

因而，函数g（x）在[-1，2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得

又g（2）=-1≠-4，从而必有g（-1）=2-3q=-4

解得q=2

此时，g（x）=-2x ²+3x+1，其对称轴 x=

3

4 ∈[-1，2]

∴g（x）在[-1，2]上的最大值为 g(

3

4 )=-2×(

3

4 ) 2 +3×

3

4 +1=

17

8 符合题意．