Question

已知函数f（x）=logax在x∈[3，+∞）上，恒有|f（x）|＞1，则实数a的取值范围是[1/3＜a＜3

Answer 1

解题思路：当a＞1时，不等式即 logax＞1=logaa，故a＜x对任意x∈[3，+∞）恒成立，得到1＜a＜3，当0＜a＜1时，不等式即-logax=loga1x＞1=logaa，故a＜x对任意x∈[3，+∞）恒成立，故 13＜a＜1，将两种情况下求得的a的取值范围再取并集．

当a＞1时，∵x∈[3，+∞），∴y=f（x）=log_ax＞0，

由|f（x）|＞1，得log_ax＞1=log_aa，∴a＜x对任意x∈[3，+∞）恒成立．

于是：1＜a＜3．

当0＜a＜1时，

∵x∈[3，+∞），

∴y=f（x）=log_ax＜0，

由|f（x）|＞1，得-log_ax=log_a

1

x]＞1=log_aa，

∴a＞[1/x]对任意x∈[3，+∞）恒成立．

于是：[1/3]＜a＜1．

综上：a∈（[1/3]，1）∪（1，3）．

故答案为：

1

3＜a＜3且a≠1．

点评：

本题考点： 对数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 本题考查绝对值不等式的解法，对数函数的单调性及特殊点，体现了分类讨论的数学思想．