LZ,条件是不够的.学高数一定要把握好条件.缺了两点第一,x趋向于什么?（正负）无穷,还是x0（左右）.第二,f,g的极限是否存在.
这样,我就按照条件叙述完的情况给LZ说吧.证明大概是这样.
由于f(x),g(X)极限存在且分别为A,B则α(X),β(x)为无穷小.因此Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)为无穷小
又f(x)g(X)=[A+α(X)][B+β(x)]=AB+Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)
故不管x趋向于神马,lim[f(x)g(x)]=AB.
当然,这种证明是假定楼主知道无穷小的概念,以及无穷小与无穷小或常数的乘积仍然为无穷小这两个定理的.
如果不知道的话,具体的证明应当是这样.（假定为x趋向x0时的极限）假设f(x),g(X)极限存在且分别为A,B
则对任意的ε>0,存在δ1,δ2使得x在x0的δ1空心领域有|f(x)-A|