直线x-y+m=0与椭圆x^2+4y^2=4相交于A,B两点,求|AB|的最大值,3道椭圆的~

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  • 1.直线x-y+m=0与椭圆x^2+4y^2=4相交于A,B两点,求|AB|的最大值

    y=x+m代入椭圆x²+4y²=4

    整理:5x²+8mx+4m²-4=0

    韦达定理:x1+x2=-8m/5,x1*x2=4(m²-1)/5

    弦长公式:AB=√(1+k²)[(xA+xB) ²-4xAxB]=√2×[(-8m/5)²-16(m²-1)/5]

    AB²=32/25(-m²+5)

    -m²+5是二次函数,当m=0时,有最大值5

    所以AB最大值=4√10/5

    2.直线kx-y-2=0交椭圆x^2+4y^2=80于两点A,B 若 AB 的中点的横坐标为2,求|AB|

    y=kx-2代入椭圆x²+4y²=80

    整理:(4k²+1)x²-16kx-64=0(1)

    韦达定理:x1+x2=16k/(4k²+1)

    根据题意x1+x2=4

    所以16k/(4k²+1)=4

    解得k=1/2

    代入(1)整理:x²-4x-32=0

    (x-8)(x+4)=0

    x1=-4,x2=8

    y1=-4,y2=2

    AB=√(-4-8)²+(-4-2)²=6√5

    3.椭圆ax^2+by^2=1与直线y=1-x交于AB两点,过原点与弦AB中点的直线的斜率为根号2/2 求a/b

    将直线y=-x+1代入椭圆方程ax²+by²=1

    整理:(a+b)x²-2bx+b-1=0

    韦达定理:x1+x2=2b/(a+b)

    y1+y2=-(x1+x2)+2=2a/(a+b)

    过原点和弦AB中点的直线为y=√2/2x

    AB中点坐标(b/(a+b),a/(a+b))

    代入a/(a+b)=√2/2*b/(a+b)

    a/b=√2/2