Question

微积分中如何判断函数在一个区间内是否可导且连续

Answer 1

可导必然连续,连续不一定可导

判断连续:设点x0,若x趋于x0时,limf(x)=f(x0),则f(x)在x0连续

判断可导:需证左导=右导,由定义

lim(f(x)-f(x0))/(x-x0),其中x趋于x0+和x0-

举个例子吧,f(x)=|x|

要证在x=0是否可导

x趋于x0+时,lim (f(x)-f(0))/(x-0)=lim x/x=1

x趋于x0-时,lim (f(x)-f(0))/(x-0)=lim (-x)/x=-1

所以左导不等于右导,f(x)在0点导数不存在