已知函数f(x)=ax^3-5x^2+cx+d图像上点(1,8)处的切线过点(3,0),且f(x)在X=3有极值

1个回答

  • ∵f(x)经过(1,8) 则a-5+c+d=8

    ∵f'(x)=3ax²-10x+c

    切线的斜率为f'(1)=3a-10+c

    ∴切线方程为y-8=(3a-10+c)(x-1)

    ∵经过(3,0) 则0-8=(3a-10+c)(3-1)

    又∵f(x)在x=3处有极值 则f'(3)=0 ==>3a×3²-10×3+c =0

    解得:a=1 c=3 d=9

    ∴f(x)=x³-5x²+3x+9

    f′(x)=3x²-10x+3=(3x-1)(x-3)由f′(x)=0得x1=1/3,x2=3

    当x∈(0,1/3)时,f′(x)>0,f(x)单调递增

    ∴f(x)>f(0)=9

    当x∈(1/3,3)时,f′(x)<0,f(x)单调递减

    ∴f(x)>f(3)=0

    又∵f(3)=0

    ∴当m>3时,f(x)>0在(0,m)内不恒成立

    ∴当且仅当m∈(0,3]时,f(x)>0在(0,m)内恒成立.

    所以m取值范围为(0,3].