Question

已知：x＞y＞0，且xy=1，若x2+y2≥a（x-y）恒成立，则a的取值范围为______．

Answer 1

解题思路：由已知把x²+y²≥a（x-y）恒成立转化为

a≤

x

2

+

y

2

x−y

恒成立，整理后代入xy=1，然后利用基本不等式求最值，从而得到a的取值范围．

∵x＞y＞0，

由x²+y²≥a（x-y）恒成立，得a≤

x2+y2

x−y恒成立，

又

x2+y2

x−y＝

(x−y)2+2xy

x−y，

而x＞y＞0，且xy=1，

∴

x2+y2

x−y＝

(x−y)2+2xy

x−y＝

(x−y)2+2

x−y=(x−y)+

2

x−y≥2

(x−y)•

2

x−y＝2

2，

∴a≤2

2．

故答案为a≤2

2．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了基本不等式求最值，是中档题．