(1)
f(x)=ln[(e^x)+a]为奇函数
所以f(0)=0
所以a=0
所以f(x)=x
所以g(x)=λx+sinx
所以g'(x)=λ+cosx
因为g(x)在区间[-1,1]上是减函数
所以g'(x)在区间[-1,1]上恒≤0
所以cosx在区间[-1,1]上cosx≤1
所以λ≤-1
(2)
因为g(x)≤t^2+λt+1在x∈[-1,1],λ∈A上恒成立
所以t^2+λt+1≥g(x)的最大值
因为g(x)在区间[-1,1]上是减函数
所以g(x)max=g(-1)= -λ-sin 1
所以t^2+λt+1≥-λ-sin 1对λ∈A恒成立
所以 (t+1)λ≥ -t^2-1-sin1
①t+1≤0 则 (t+1)λ≥ 0＞ -t^2-1-sin1 成立
②t+1＞0则 λ≥(-t^2-1-sin1)/(t+1)
所以 -1≥(-t^2-1-sin1)/(t+1)
所以 t^2-t+sin 1≤0
因为 t^2-t+sin 1=(t-1/2)^2+sin 1 -1/4＞0
所以 无解
综上所述 t≤-1
(3)
lnx=f(x)[(x^2)-2ex+m]
因为f(x)=x
所以 lnx / x= (x^2)-2ex+m = (x-e)^2+m-e^2
设 h(x) =lnx/x 则
h'(x)=(1-lnx)/x^2
所以h(x)在(0,e)单增,在(e,+∞)单减
h(x)在x=e时取得最大为 1/e
又因为 (x^2)-2ex+m = (x-e)^2+m-e^2在x=e时取得最小值 m-e^2
所以 m＞e^2+1/e时无解
m=e^2+1/e 时有一解
m＜e^2+1/e时有两解