解题思路：根据函数的奇偶性与单调性的定义，逐一判定A、B、C、D中的函数是否满足条件．
对于A，f（x）=cosx是定义域上的偶函数，∴不满足条件；
对于B，∵f（x）=sinx+x，∴f（-x）=sin（-x）+（-x）=-（sinx+x）=-f（x），∴f（x）是奇函数，
又f′（x）=cosx+1≥0，∴f（x）是定义域上的增函数，∴满足条件；
对于C，f（x）=x2+1是定义域上的偶函数，∴不满足条件；
对于D，∵f（x）=x3-3x，∴f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，得x=±1，
∴f（x）在其定义域内不是单调函数，∴不满足条件．
故选：B．
点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定问题，解题时应根据函数的奇偶性与单调性的定义，判定选项中的函数是否满足题意，是基础题．