已知函数g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当x∈[-1,2]时f(x)的最小值为1,且f(x)+g(x)为奇函数

1个回答

  • 解题思路:根据题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),再由f(x)+g(x)为奇函数求出a、c的值,再求对称轴,根据所给的区间进行分类讨论,分别求出f(x)的最小值列出方程,求出b的值.

    设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3,

    ∵f(x)+g(x)为奇函数,∴a=1,c=3

    ∴f(x)=x2+bx+3,对称轴x=-[b/2],

    ①当-[b/2]>2,即b<-4时,f(x)在[-1,2]上为减函数,

    ∴f(x)的最小值为f(2)=4+2b+3=1,∴b=-3,∴此时无解

    ②当-1≤-[b/2]≤2,即-4≤b≤2时,f(x)min=f(-[b/2])=3-

    b2

    4=1,∴b=±2

    2

    ∴b=-2

    2,此时f(x)=x2-2

    2x+3,

    ③当-[b/2]<-1s时,即b>2时,f(x)在[-1,2]上为增函数,

    ∴f(x)的最小值为f(-1)=4-b=1,

    ∴b=3,∴f(x)=x2+3x+3,

    综上所述,f(x)=x2-2

    2x+3,或f(x)=x2+3x+3.

    点评:

    本题考点: 二次函数的性质;函数奇偶性的性质.

    考点点评: 本题考查了函数性质的综合应用,待定系数法求函数的解析式,以及分类讨论思想求二次函数在定区间上的最值问题.